高联题改。

考虑对于一个方格盘黑白染色，两个格子联通当且仅当它们公用一条边。

定义一个连通块的权值为其黑色格数目与白色格数目差的绝对值，一个染色方案的权值为其权值最大的连通块的权值。

令 $f(n, m)$ 表示对于一个 $n \times m$ 的方格盘黑白染色，一共 $2^{nm}$ 种染色方案的权值和。

有没有什么方法可以快速的计算 $f(n, m)$？

一些值：

$f(n, m)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$1$	2	6	16	38	88
$2$	6	34	180	862	4000
$3$	16	180	1904	18064	166280
$4$	38	862	18064	341338	6278964
$5$	88	4000	166280	6278964	230932316

当 $m = 1$ 时，似乎有：

$$f(n, 1) = \begin{cases} ( 2n + 1 ) \binom{n}{n/2} - 2^n & , n \equiv 0 \pmod 2 \\ ( n + 1 ) \binom{n + 1}{(n + 1)/2} - 2^n & , n \equiv 1 \pmod 2 \end{cases}$$