只会证消得的矩阵 $A^{-1}$ 有 $A^{-1}\times A=I$，如何证明 $A\times A^{-1}=I$ ？

$A^{-1}\times A=I$ 证明：

考虑矩阵 $A\times B=C$。

有性质：

• 将 $A$ 一行 $\times v$，$C$ 同一行也 $\times v$，仍有 $A\times B=C$。
• 将 $A$ 一行对于减去另一行，$C$ 同样操作，仍有 $A\times B=C$。

求 $A^{-1}$，拼接 $[A\ I]$，消得 $[I\ A^{-1}]$。

消前有 $I\times A=A$。由于消元的每一步都同样满足大矩阵的右半边 $\times A=$ 左半边，最后有 $A^{-1}\times A=I$。