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从方程$x^n=1$入手

方程 $x^3=1$ 有三个解：$x_1=1,\ x_2=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\ x_3=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$

方程 $x^4=1$ 有四个解：$x_1=1, \ x_2=-1,\ x_3=i,\ x_4=-i$

方程 $x^5=1$ 有五个解：$x_1=1,\ x_2=\frac{-1-\sqrt{5}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}i}{4}1,\ x_3=\frac{-1+\sqrt{5}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}i}{4}1,\ x_4=\frac{-1-\sqrt{5}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}i}{4}1,\ x_5=\frac{-1+\sqrt{5}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}i}{4}$

把方程的解，放进坐标系中：

可以发现，$n$个解的坐标构成了一个正$n$边形

把$n$的值继续增大，仍然存在这种现象。

（上图为$x^{36}=1$的解）

因此，可以提出猜想：对于任何大于$3$的正整数$n$，方程$x^n=1$都有$n$个不等的解$x_1,x_2,...,x_n$，且这$n$个解可以排列成一个正$n$边形。

以上命题可以分解为以下命题：

$1.$ 对于任何正整数$n$，方程$x^n=1$不存在重根。

$2.$ 当且仅当$|x|=1$时，可能存在正整数$n$，使得$x^n=1$。

$3.$ 对于任何正整数$n$，方程$x^n=1$的$n$个解存在一种排列$x_1,x_2,...,x_n$，满足$|x_1-x_2|=|x_2-x_3|=...=|x_n-x_1|=2\sin\frac{\pi}{n}$。

命题$2$,即：对于任何复数$|B|>1$，任何复数$A$，$|B\times A|>|A|$，反之亦然。