对于这一类势能法的题，设计势能函数的时候，一定要注意 $0$ 处的特殊情况！

为方便叙述，令 $f(x)$ 表示 $x$ 对应的势能。

在尝试本题中的过程中，我钦定每个 $f(a_i)$ 在变换后都减小 $\frac 1 n$，这样总势能期望每次减小 $1$。然后我列出方程，先随机一个 $f(1)$，然后顺次推出 $f(1),f(2),\cdots \cdots$

具体来说，我的方程形如：

$(2k+1)F(v)-kF(v-1)-kF(v+1) = - \frac 1 n$

其中 $k=\frac {v} {s-1} (\frac v s-1)$。

看起来很对，但无法通过样例！

在经过三小时的痛苦调试后，我发现，势能函数这么设计是错的。因为，当 $v=0$ 时，$k=0$，原式等价于 $F(v)=F(v)-\frac 1 n$，显然无解。

为了规避这一种情况，我们大概不得不将每个都减小 $\frac 1 n$ 换成每个都减小 $\frac {a_i} {\sum a_i}$。显然，所有 $i$ 对应的这个值之和也是 $1$，但此时 $F(0)$ 有无穷多组解，可以随意取值，势能函数就是正确的。

希望能给之后做这道题的人一点儿帮助。简而言之，某些特殊参数可能造成方程无解，我们一定要设计一个合理的势能函数。