求助：多项式指对函数的定义问题
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  • 楼主NGC5457
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  • 发布时间2023/3/1 21:02
  • 上次更新2023/10/23 23:24:03
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求助：多项式指对函数的定义问题
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NGC5457楼主2023/3/1 21:02

如题。我们知道 ln⁡(z+1)\ln (z+1) 的麦克劳林级数

ln⁡(z+1)=∑k≥1(−1)k+1zkk\ln(z+1)=\sum_{k\geq 1}\frac{(-1)^{k+1}z^k}{k}

如果 zz 的定义域是 R[x]\mathbb{R}[x]，也即实系数多项式域上的元素，那我们对 zz 求导会得到

dln⁡(z+1)dz=1z+1\frac{\mathrm{d}\ln(z+1)}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{z+1}

然后直接对 1z+1\frac{1}{z+1} 积分就能得到原函数。但所有正确的推导中，zz 即是 f(x)f(x)，而求导也是写的 dx\mathrm{d}x，这也就意味着 ln⁡f(x)\ln f(x) 是关于 xx 而非 f(x)f(x) 的函数，它的定义域是 R\mathbb{R}，它是两个多项式函数的复合，所以应该用复合求导法则……

到底应该怎么考虑呢？

2023/3/1 21:02