给定一个 $n$ 点凸多边形。要求划分成若干个三角形。求方案数。

众所周知，这是卡特兰数。

然后今天我突然想：

（假设 $n$ 个顺次编号 $p_i$）

对于一个点 $p_i$。包含它的只有三种连接方式。

连 $p_{i-2}$ 和 $p_i$；连 $p_{i+2}$ 和 $p_i$ ；连 $p_{i-1}$ 和 $p_{i+1}$。

前两者连了之后，就是 $n=n-1$ 的子问题。第三种情况也是 $n=n-1$ 的子问题。同时前两者有同时成立的公共部分是 $n=n-2$ 的子问题。

所以我列出来 $f[i]=3f[i-1]-f[i-2]$。

显然这个跟卡特兰数不符。

但是我一时好像看不出是哪里的问题？