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设 $n$ 为奇数，$K$ 为一个数域，设 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\in K^n$，使得对于任意 $i\in\{1,2,\dots,n\}:$

• $\alpha_i$ 的第 $i$ 个分量为 $0$.
• $\alpha_i$ 的其余分量为个数相等的 $1$ 和 $-1$.

1.设 $e=(1,1,\dots,1)^T\in K^n$，证明：$e\notin <\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n>$.（$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ 张成的子空间）

2.对 $i\in\{1,2,\dots,n\}$，设 $\beta_i\in K^{n+1}$，使得 $\beta_i$ 第一个分量为 $1$，后 $n$ 个分量为 $\alpha_i$，证明：$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$ 在 $K$ 上线性无关.

3.当 $K$ 是域但不是数域时，上面两个命题分别一定成立吗？若成立说明理由，若不成立，举出使之不成立的 $n,K$ 以及 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\in K^n$.

(注：$K$ 为域的时候，$-1$ 表示 $K$ 中唯一的与 $1$ 相加为 $0$ 的元素）