在一个 $n \times m$（$n,m \le 10^5$）的网格图上有 $k$（$k \le 2000$）个点是黑点，其他的是白点。现在要对每一对黑点求出从一个黑点走到另一个黑点（每次往右或往下），不能经过其他黑点的方案数。

这个问题可以容斥做到 k^3，有没有更快的方法？