如题。现有正整数 $n,k\ \ \boldsymbol{(k>1)}$，整数 $y,m$，以及 $n$ 个整数变量 $x_{0,\cdots,n-1}$，满足 $\sum_{i=0}^{n-1}x_i=m$。于是方程

$\sum_{i=0}^{n-1}k^ix_i=y$

最多存在一个解。

我的证明思路是反证与归纳：假设存在俩不同解。于是将这两解的等式相减可以得到 $\sum_{i=0}^{n-1}k^ic_i=0$ 然后以归纳法证明该式当且仅当 $\forall 0\leq i<n, c_i=0$ 有解，故“不同解”相同。

不过我不是很确定。它正确么？若不正确，何处出错？