令 $p$ 为素数，记 $\mathbb Z$ 对理想族 $\mathfrak{a}_i:=p^{i+1}\mathbb Z$ 的完备化为 $\mathbb{Z}_p$，记 $\mathbb{Z}_p$对 $\{1,p,p^2,\dots\}$ 的局部化 $\mathbb{Z}_p\left[\frac{1}{p}\right]$ 为 $\mathbb{Q}_p$。

为什么 $\mathbb{Q}_p=\mathrm{Frac}(\mathbb{Z}_p)$？

有个类似的结论是：设 $R$ 为域，那么 $R(\!(X)\!)$ 为 $\mathrm{Frac}(R[[X]])$。

后者的证明应当和前者相当类似，但是我都不会。有没有人讲解一下 /kel