要证明的命题是：

对于所有至少有 $3$ 种不同颜色的序列 $a$，其最大操作数为 $n$。

看了一圈题解，要么没证要么是在扯淡，但我并不感觉这很显然（也可能是 skill issue），总之这里写一个看起来对的。

下文中下标运算默认在 $\text{mod} \ n$ 意义下进行。

要使得最大操作数为 $n$，那么我们删除 $i$ 时就必须保证 $a_{i-1} \neq a_{i+1}$。下文中的 “删除” 默认满足这一条件。

考虑一个至少有 $3$ 种不同颜色的序列 $a$，显然，其中所有颜色要么只出现 $1$ 次，要么至少出现 $2$ 次。

如果存在某个颜色只出现 $1$ 次，那么我们总是能够删除与其相邻的元素，此时结论成立。

否则，当所有颜色都出现了至少 $2$ 次时，一定存在某个位置 $i$ 使得 $a_{i - 1} \neq a_{i+1}$。证明可以考虑反证，如果对于所有 $i$ 都有 $a_{i - 1} = a_{i+1}$，那么显然要么所有 $a_i$ 相同，要么所有奇数位和所有偶数位上的 $a_i$ 分别相同（这取决于 $n$ 的奇偶性），这和“至少有 $3$ 种不同颜色”矛盾。

于是此时我们可以将 $i$ 删除。由于我们每次只会删除 $1$ 个元素，因此若干次删除之后一定会有某个颜色只剩下 $1$ 个元素，这就转化为了第一种情况，于是结论成立。

综上，结论成立。