有一颗 $n$ 个结点的无根树，$m$ 种颜色以及 $k$ 条限制，每条边有两种状态：选中与未选中，若干条选中的边把整棵树分为若干个联通块。

每个点有 $m$ 种颜色之一的颜色，要求同一联通块内任意两点颜色不同；每条限制形如 $(u,v)$ ，表示结点 $u$ 与结点 $v$ 必须在同一联通块中。

选择一些边并给每个结点染色，要求满足上述所有限制，求方案数对某个大质数取模（先按照 $10^9+7$）的结果。$n,m,k\le 3\times 10^5$。

目前这边的想法是虚树给边打标记+借助排列数和逆元进行二维树形DP（第二维是当前联通块大小，转移时按照边的标记情况分类，给儿子状态乘上排列数逆元，求和，然后乘上排列数）加上DSU ON TREE。请问各位：

1.该想法有没有假，以及假了的话有没有时间复杂度在 $O(n\log n)$ 以内的解法；这边已经退役了，最近写题写傻了，脑子不太灵光......

2.有没有实现上更为简单的算法，时间复杂度可以放宽到小常数 $O(n\sqrt n)$；

3.有没有理论最劣时间复杂度更优的解法，常数小也算。

提前感谢各位解答。