走在路上突然由糖水不等式想到的

对于一个分数 $\frac{n}{m}(m,n \in N^*)$（整数集打不出来？），对它循环执行以下操作：

1. 将分子分母同时加 $1$；
2. 将分子分母约分。

最后的结果必为 $\frac{p-1}{p}(p \in N^*)$。

如何证明/证伪（最好举出反例）？

悬赏一关注。