跟好多同学的答案都不一样，网上找不到，求助

如图，已知在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2-2x-3$ 的图像与 $y$ 轴交于点 $C$，直线 $y=-x$ 与抛物线的对称轴 $l$ 交于点 $F$。点 $P$ 为抛物线上一动点，作 $PQ//y$ 轴交直线 $y=-x$ 于点 $Q$。

（1） 是否存在这样的点 $P$，使得以点 $O,C,P,Q$ 为顶点的四边形为平行四边形。直接写出所有符合条件的点 $P$ 的坐标。

（2） 连接 $PF$，若 $\triangle PQF$ 为直角三角形，则直接写出所有符合条件的 $Q$ 的坐标。