“函数 $f(x)$ 定义域是 $(0,+\infty)$ 且 $\forall x,y\in(0,+\infty),f(xy)=f(x)+f(y)$” 是 “$f(x)$ 是对数函数”的充要条件吗？

最好给出证明/证伪，谢谢各位大佬了