先发一下原题

现在又$20$个人约定一起玩一局游戏。每个人有$0.5$的概率参加，一局游戏的有趣程度为参加人数的平方，则游戏有趣程度的期望为($105$)

我当时推得的期望式子是$\Sigma_{i=1}^n(\frac{1}{2^n}\times\frac{n!}{i!\times(n-i)!}\times i^2)$ $geogebra$告诉我当$n=20$时，这个式子答案为$105$

我继续研究，发现一个规律:

$\Sigma_{i=1}^n(\frac{1}{2^n}\times\frac{n!}{i!\times(n-i)!}\times i^2)=\frac{n\times(n+1)}{4}$

参考答案给出的式子是后者，问题是如何证明?

我试着用积分相关的方法解决，但我很难处理阶乘问题。