题目描述

在 $1,2,...,n$ 这 $n$ 个数中进行 $s$ 轮选择，每次选出一个数并放回，求取出数字之和的期望.

蒟蒻的想法

下称“取出数字之和”为“结果”.

显然 $i$ 是一个合法的结果，等价于 $s\le i\le ns$，因为 $i=pn+q(0\le p\le s-1,1\le q\le n)$.

且 $i$ 作为结果显然有 $C_{i-1}^{s-1}$ 种方案（拆分成 $s$ 个正整数的和的方案数），总方案数 $n^s$.

故期望为 $\sum\limits_{i=s}^{ns}{\frac{C_{i-1}^{s-1}}{n^s}\times i}=\frac{(ns+1)(ns-s+1)}{s+1}C_{ns}^{s-1}$，求和可用 $Abel$ 变换.

可是好像应该是 $\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}i}{n}\times s$ ？