设计一个算法去判断已经给定的三个大小为 $n \times n$ 的矩阵是否满足 $A \times B \mod \ P = C$。

$P$ 是一个数，表示把乘出来的矩阵每一个位置都对 $P$ 取模。其中 $n \le 1000, P \le 10^9$。

一个做法是随机生成一个 $1 \times n$ 的矩阵 $D$, 然后去判断 $A \times (B \times D) =C \times D$ 的正确性，显然这样是一个必要不充分条件，所以请问有关这样的检验，到底需要多少次的建议才能几乎保证正确性呢，本蒟蒻虽然感觉这个做法比较对，但是不知道怎么去证明呜呜。