$m$ 个有标号的球，一次染色操作定义为：选择 $k$ 个球，对这 $k$ 个球都进行一次染色。进行 $i$ 次染色操作 $cost$ 为 $(-1)^{i-1}$

对于多次染色称为一个染色方案，一个染色方案合法当且仅当进行的所有染色操作使得每个球至少被染色一次，且任意两次次染色操作所染的 $k$ 个球的集合不同。

求证：所有合法染色方案 $cost$ 之和为 $\dbinom{m-1}{k-1}$

例如：$m=3,k=2$ 称三个球为 $1,2,3$ 号

所有染色方案有：

$[1,2][2,3]+1$

$[1,2][1,3]+1$

$[1,3][2,3]+1$

$[1,2][1,3][2,3]-1$

故 $cost$ 之和为 $2$