考虑加入一位对乘积的影响。

设 $a'$ 为 $A$ 的前 $i - 1$ 位, $b'$ 为 $B$ 的前 $i - 1$ 位。

令 $a = 10a', b = 10b'$

$c, d$ 为准备加入第 $i$ 位的数，考虑如何使得 $c$ 加入 $A$, $d$ 加入 $B$ 的乘积大于互换的乘积。

列个不等式并变换：

然后令 $a - b \ge 0, d - c \ge 0$ 使不等式成立。

因为每一位都是加上去的，所以 $a, b$ 的大小关系一旦确定就始终不变，那就钦定 $a \ge b$, 那么为了最优就得使得 $d \ge c$.

那结论就是：首位 A 大，其余位 B 大。

所以这结论有错吗...