题目大意

仅由 $0$ 和 $1$ 来构成一个长度为 $n$ 的序列，求有多少种方法使得最终构成的序列满足其中 $00$，$01$，$10$, $11$ 的数量相同，如 $01100$ 就是一个合法的方案。

这是之前做的一道题目，然后题解是这样写的：

是否有解的判断我能够理解，但是之后的构造看不懂，也不明白为什么是那样算，有没有大佬能够看懂的，给本蒟蒻解释一下，或者给出一份不同的解决方案也可以。