先说结论 $F(x)^P \equiv a_0^P \mod x^n (n \le P)$ 。因为根据多项式定理的系数 $\frac{P!}{n_1!n_2!\ldots n_k!}$， $P$ 是个质数，当 $n_i = P$ 的情况下，多项式系数等于 $1$ ，而其他情况下因为 $P$ 是个质数所以多项式系数能被 $P$ 整除。以上讨论说明了 $F(x)^P$ 只剩下了 $n_i = P$ 的项，但是因为 $n \le P$，那么就说明 $x^{kP}(k \neq 0)$ 的项被舍弃，而只留下了 $a_0^P$ 。

考虑式子 $F(x)^k = (\frac{F(x)}{a_tx^t})^k a_t^kx^{tk}$ ，此时 $(\frac{F(x)}{a_tx^t})^k$ 是一个 $a_0=1$ 的多项式，套用上面的结论 $F(x)^P \equiv 1 \mod x^n (n \le P)$ 。因此在计算 $(\frac{F(x)}{a_tx^t})^k$ 的时候 $k$ 是可以直接对 $P$ 取模而不影响答案。对于 $a_t^k$ 这东西可以根据用费马小定理 $k$ 去对 $P-1$ 取模。对于 $x^{tk}$ 要判断一下 $tk$ 的大小确定如何移动。

最后一个问题就是当 $a_t$ 不存在的时候，直接等于 $0$ 即可。