$RT$, 第 62 场周赛 C 题 的三分做法为何正确？

容易知道在 $max=x_{i}$ 固定后关于平均值的函数 $f_i(j)=\frac{x_{i}+\sum\limits_{k=1}^{j}{x_{k}}}{j+1}$ 先减后增，但如何进一步证明其为下凸函数呢？