今天上午我在这篇帖子中询问了有关多项式求逆的条件的问题，今天仔细思考之后，发现了我的想法中的问题。下面指出如下：

• 我将 $f(z)g(z)=1$ 中的“$=$”视作是一个解析函数的等于，将“$*$”理解为了柯西乘积，从而产生了“可以在 $z_0\leqslant 0$ 的解析点展开”的想法，从而称“在 $z=0$ 处柯西乘积无法成立”，以此说明“$f(z)=0$ 不能说明 $f(z)g(z)=0$，因为该点无法进行柯西乘积”的观点。
• 而事实上，这里的 $=$ 是作为一个代数对象的多项式意义上的等于，其涵义为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的同次项的系数全相等，不作为一个具体的多项式函数，从而 $*$ 也不是所谓的柯西乘积，不存在所谓的收敛域外不能成立的问题。

总而言之，多项式乘法的操作对象并非一类函数，而是一个数域 $P$ 上的一元多项式环中的几个元素，在这个环上定义了加法和乘法，然后对于乘法又定义了求逆的操作，但这个多项式环并非一个域。而多项式求逆的操作对象则是数域 $P$ 上一元多项式构成的数域 $P$ 中的有理分式域 $P(x)$ 中的元素。

根据 77 年高代教材上的定义，这里的 $x$ 是一个所谓符号(或称文字)，而不是我理解的那个 $z$。

由此把我之前理解的很多观点都推翻了，但这样就产生了一些问题。

1. 如果说多项式乘法的操作对象是一元多项式环里的多项式，那么问题来了：

   • 在离散傅里叶变换中，我们对于系数向量乘上了一个过渡矩阵，完成了坐标变换，得到的是一个新的坐标，而这个过渡矩阵是范德蒙矩阵的形式，那么我们得到的坐标就是大家一般称呼的所谓“点值”；
   • 逆变换时，我们对“点值”构成的坐标逆向地进行了坐标变换，还原了原来的坐标，也就是大家一般说的“插值”。
   • 这里出现的两种理解方式，一种是正交基变换下的坐标变换，一种是求值和插值的过程，前者和我上面的思考结果似乎关联性不大，后者则直接与我上面的思考结果相悖，重新将多项式视作了一个解析函数。
   • 请问此处到底应该如何理解？离散傅里叶变换到底处理多项式乘法的本质原因到底是什么？

2. 既然一元多项式环中的乘法和求逆能够良好定义，那么 $\ln,\exp,\sin,\cos,\arcsin,\arccos$ 这些又是什么玩意？这些运算该如何定义？还是说，这些所谓“多项式”的板子实际上又不是操作一元多项式环中的元素，而是求解函数的幂级数展开了？

3. 我们一般将生成函数视作形式幂级数来看待，我个人认为这种只考虑系数的东西更偏向是一个多项式。但是我们又会对某个生成函数 $F$ 给出另一个函数 $f$，满足 $f$ 的某个解析区域 $D$ 内的幂级数展开为 $F$，这里我们又将生成函数完全看作一个“函数”。故请问生成函数究竟应该如何理解？