@GuidingLight 本题的题解有事实性错误，这里帮他更正一下。

考察式子 $\sum\limits_{a\in [0, p-1]} a^{2c}$, 不妨设 $p$ 的一个原根为 $g$，由 $a\in [0, p-1]$ 知 a 遍历 $0, g^0, g^1, g^2, ... g^{p-2}$，所以原式即 $\sum\limits_{t=0}^{p-2} g^{2ct} = \frac{1-g^{2c(p-1)}}{1-g^{2c}}$，除非 $g^{2c} = 1$ 时原式等于 $p-1$，否则原式等于 0。而又 $c+d = p-1$，故只有 $c=d=\frac{p-1}{2}$ 时 $x^{p-1-c-d} \dbinom{p-1}{c, d, p-1-c-d} ( \sum\limits_{a\in [0, p-1]} a^{2c} ) ( \sum\limits_{b\in [0, p-1]} b^{2d} )$ 不为 0。

我们注意到这一段中并没有讨论 $2c = 0$ 的情况。事实上此时会出现 $0^0$，而不是 1。补救也是简单的，多讨论 $c = p-1, d=0$ 和 $d=p-1, c=0$ 的情况即可。