昨天我在和同学讨论这个题的时候，发现了一个奇妙的事情。
题解区的写法（包括我那位同学） $f(n,p,P)$的写法都大同小异：

LL F(LL n,LL P,LL PK)
{
	if(n==0) return 1;
	LL rep=1,rem=1;
	for(LL i=1;i<=PK;i++)
		if(i%P)
			rep=rep*i%PK;
	for(LL i=n/PK * PK;i<=n;i++)
		if(i%P)
			rem=rem*(i%PK)%PK;
			
	return F(n/P,P,PK)*qmi(rep,n/PK,PK)%PK*rem%PK;
}

但是我写的是：

ll frac(int u,int P)//求u在模P意义下的阶乘
{
	ll ans= 1;
	for(int i=2;i<=u;i++)
		ans = ans * i % P;
	return ans;
}

int f(ll u,ll p,ll P)
{
	if(!u)	return 1;
	return f(u/p,p,P) *qmi(frac(p-1,P),(u/p),P) % P * frac(u%p,P) % P;
}

同学表示这样不对，我自己代入几组数据又觉得是对的，于是交了一发，AC了。。。

简单来说，正常写法以$p^k$为余数循环节，我却以$p$为余数循环节，代码的其余部分等价。
如果这个写法正确，是不是会提高程序效率？
求大佬给出hack或证明正确性。