RT，怎么证明如下问题：

对于一元 $n$ 次复系数多项式 $f(z)=\sum\limits_{k=0}^na_kz^k\quad(\forall k\in[0,n]\cap\mathbb{Z},a_k\in\mathbb{C})$

已知 $z=z_0$ 是 $f(z)=0$ 的一个复数根，那么一定存在一个一元 $n-1$ 次复系数多项式 $g(z)$ 使得 $f(z)=(z-z_0)g(z)$

试图构造失败了，然后我想用归纳法证明对于任意 $n-1$ 次多项式 $p(z)$，把他乘上一个任意的 $(az+b)\quad(a,b\in\mathbb{C})$ 能得到任意的新的 $n$ 次多项式，但是好像没做出来（（（

求助谷民。