首先，百度无果，百度出来的都是抛物线和直线和坐标轴的交点问题。这些都太简单了，交定直线就限制、求根，动的就找切点求导函数。动抛和一个不变的图形的交点也很好求，找边界，求根，分析就可以了。

我想在这里研究的问题是，一个在动的抛物线和一个在变化的图形的交点的限制方法。

例如说：抛物线 $C_1$：$y = ax^2 - 4ax - 5\ (x \ge 0)$ 与 抛物线 $C_2$：$y = -ax^2 - 4ax - 5\ (x < 0)$，$a$ 为常数且 $a \ne 0$，$C_1$ 和 $C_2$ 合起来的图形记作 $G$。以 $-2, -3$ 为中心作矩形 $ABCD$，其中 $A(3,1)$ 且 $AB // x$，求 $G$ 与 $ABCD$ 有两个交点时写出 $a$ 取值范围。

这道题我会这么做：算顶点的 $y = 1$ 和 $y = -7$ 时刻和交矩形的 $A, B, C, D$ 四个点的时刻，分别画图求，之后分析，得出结果，一共需要解最多 $12$ 个方程，其中影响到结果的只有 $3$ 个。个人感觉效率实在是低下。$a < 0$ 或 $0 < a < \dfrac{1}{2}$ 或 $\dfrac{3}{2} < a < 1.5$ 且 $a \ne -3$，也不知道对不对。

这个是常规的、标准的解法吗？有没有什么更好的解题的方法？例如说算切一次函数的时候可以求导函数的。想要一个能有效减少计算量、提高速度的解法，或者有没有什么方法可以避免无用运算？谢谢大家耐心解答。