幼联全称：全国幼儿园数学联赛

我正在努力学习，希望有一天能参加幼联，以下是我碰到的一些奇怪的问题：

Q1：大家应该都知道 $e^{i \theta}=\cos\theta +i\sin\theta$，有没有我这种 sb 能看懂的证明过程。

Q2：$i$ 有没有导数？如果没有，那么对上式两边同时求导，显然会出现问题，如果有，导数是不是 $0$

Q3：众所周知 $f(x)=e^x$ 则 $f'(x)=e^x$，那$e^{i\theta}$ 的导数是不是就是 $e^{i\theta}$？

Q4：如果Q3如果答案是肯定那么是不是有一点问题：对Q1式求导得：$e^{i \theta}=-\sin\theta +i\cos\theta$，显然与原式不符，那么要怎样才能变成正确的？还是说我理解错了？模长相等就行

规范一下回答问题格式，开头先说楼主是歌姬吧？ 然后按Q1~Q4作答，感谢各位。