洛谷好像不支持我的 $\LaTeX$ 代码，所以只能用图片了

$$
假设 a_n = 2a_{n - 1} + 1 (n \geq 1), a_0 = 0
$$

$$
\begin{align}
设\ F(x)
&= \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n \cdot x^n
\newline
&= a_0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty a_n \cdot x^n
\newline
&= \sum\limits_{n = 1}^\infty (2a^{n - 1} + 1) \cdot x^n
\newline
&= 2xF(x) + \frac x{1 - x}
\end{align}
$$

我有点没看懂，为什么

$$\sum\limits_{n = 1}^\infty (2a^{n - 1} + 1) \cdot x^n = 2xF(x) + \frac x{1 - x}$$

求大佬解答