已知一元二次方程 $x^2+px+q+1=0$ 的一根为 $2$

(1) 求 $q$ 关于 $p$ 的关系式

(2) 求证：抛物线 $y=x^2+px+q$ 与 $x$ 轴有两个交点

(3) 设抛物线 $y=x^2+px+q$ 的顶点为 $M$，且与 $x$ 轴相交于 $A(x_1,0),B(x_2,0)$ 两点，求 △$AMB$ 面积最小时的抛物线解析式

蟹蟹各位大佬们了！