下面讨论在 $\mathbb{F}_2$ 下进行，即全部对 $2$ 取模。

考虑 $n$ 维空间，问你至多能构造出多少个不同的向量，满足：$\forall \mathbf{x}_1\ne \mathbf{x}_2,\mathbf{x}_1\cdot \mathbf{x}_2=1$。

请给出构造并证明。

不一定有用的提示：下面给出了 $1$ 到 $8$ 的一种构造：

1: 0
2: 1 3
3: 1 3 5
4: 1 3 5 9
5: 1 3 5 9 17
6: 1 3 5 9 17 33
7: 1 7 25 31 97 103 121 127
8: 1 3 13 49 61 193 205 241 253