1.是否存在定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $y=f(x)$，使得任意一个满足 $a<b$ 的实数 $a, b$，都有 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上无最大值。

2.是否存在定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $y=f(x)$，使得任意一个满足 $S\subseteq\mathbb{R}$ 的无限集合 $S$，都有 $y=f(x)$ 在 $S$ 上无最大值。

3.是否存在定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $y=f(x)$，使得任意一个满足 $S\subseteq\mathbb{R}$ 的无限集合 $S$，都有 $y=f(x)$ 在 $S$ 上无最大值和最小值。

如上这三个问题是逐步增强的，目前已经证明第一个问题的答案是肯定的，第三个问题的答案是否定的，但第二个问题的答案还没有定论。 具体来说，对于第一个问题，不难发现如下函数满足条件：

$f(x)=\begin{cases} x+b, \ x=a\sqrt b(a\in\mathbb{Q}, b\in\mathbb{P})\\ x, \ \forall a\in\mathbb{Q}, b\in\mathbb{P}，x\neq a\sqrt b \end{cases}$
(其中 $\mathbb{Q}$ 是有理数集合，$\mathbb{P}$ 是素数集合)

对于第三个问题，只需证明引理：

每个无穷数列都有无限长的单调子数列（不一定连续）

然后不难发现取 $\mathbb{N}$ （自然数集合）作为定义域时，函数可视作无穷数列，因此当取它的一个单调子列的下标作为定义域时，它的函数值为单调增或单调减，则它不可能同时没有最大值和最小值。

现在我想要知道第二根问题的答案，如果是肯定的，能否给出一个构造？（第一个和第三个问题的答案可能有一定的启示作用）